北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研历年真题答案参考书目

 考研精品资料              封面  【初试】2024 年北京化工大学  861 高等代数与解析几何考研精品资料         第 1 页 共 602 页  考研精品资料 第 2 页 共 602 页 【初试】2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研精品资料  说明：本套资料由高分研究生潜心整理编写，高清 PDF 电子版支持打印，考研首选资料。  一、北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研真题汇编及考研大纲  1．北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2002、2004-2005、2008、2013-2016、2021 年考研真题，暂无 答案。  说明：分析历年考研真题可以把握出题脉络，了解考题难度、风格，侧重点等，为考研复习指明方向。 2.北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研大纲  ①2023 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研大纲。 ②2022 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研大纲。 说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复 习的首选资料，本项为免费提供。 二、2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研资料  3．《高等代数》考研相关资料  （1）《高等代数》[笔记+课件+提纲]  ①北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。 ②北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》本科生课件。  说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》复习提纲。  说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。 3．《高等代数》考研相关资料  （1）《高等代数》[笔记+课件+提纲]  ①北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段首选资料。 ②北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》本科生课件。  说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③北京化工大学 861 高等代数与解析几何之《高等代数》复习提纲。  说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。 4．北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心题库（含答案）  ①北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心题库之计算题精编。  ②北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心题库之证明题精编。  说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类 汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。  考研精品资料 5．北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研模拟题[仿真+强化+冲刺]  ①2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研专业课五套仿真模拟题。  说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。 ②2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研强化五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习首选。 ③2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课冲刺检测使用。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺首选资料。 三、电子版资料全国统一零售价  6．本套考研资料包含以上一、二部分（高清 PDF 电子版，不含教材），全国统一零售价：[￥]  特别说明：  ①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参 考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。 ②资料中的若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感 谢，如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！ 四、2024 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）  7．北京化工大学 861 高等代数与解析几何考研初试参考书  “高等代数”（第二版），北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，1998。 “高等代数”（第三版），张禾瑞等编，1984。 “解析几何”（第二版），丘维声编，1996。 “空间解析几何学，”朱鼎勋、陈沼菱，1985。 五、本套考研资料适用学院和专业  数理学院：数学  版权声明   编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面 上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由 于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在 此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您 沟通处理。 因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读 者批评指正。 第 3 页 共 602 页  考研精品资料 第 4 页 共 602 页 目录 封面............................................................................................................................................................. 1 目录............................................................................................................................................................. 4 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数备考信息......................................................... 7 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研初试参考书目........................................................ 7 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研招生适用院系........................................................ 7 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数历年真题汇编 ............................................................. 8 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2002 年考研真题（暂无答案）...................................................... 8 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2004 年考研真题（暂无答案）.................................................... 10 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2005 年考研真题（暂无答案）.................................................... 13 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2008 年考研真题（暂无答案）.................................................... 16 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2013 年考研真题（暂无答案）.................................................... 19 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2014 年考研真题（暂无答案）.................................................... 22 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2015 年考研真题（暂无答案）.................................................... 25 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2016 年考研真题（暂无答案）.................................................... 28 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2021 年考研真题（暂无答案）.................................................... 31 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲....................................................................33 2022 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲......................................................... 34 2023 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲......................................................... 36 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心笔记 ................................................38 《高等代数》考研核心笔记.......................................................................................................................38 第 1 章 多项式.................................................................................................................................................. 38 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 38 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 38 第 2 章 行列式.................................................................................................................................................. 47 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 47 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 47 第 3 章 线性方程组.......................................................................................................................................... 60 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 60 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 60 第 4 章 矩阵...................................................................................................................................................... 69 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 69 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 69 第 5 章 二次型.................................................................................................................................................. 84 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 84 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 84 第 6 章 线性空间.............................................................................................................................................. 96  考研精品资料 考研提纲及考试要求 ..................................................................................................................................... 96 考研核心笔记 ................................................................................................................................................. 96 第 7 章 线性变换............................................................................................................................................ 107 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 107 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 107 第 8 章 Λ-矩阵................................................................................................................................................. 123 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 123 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 123 第 9 章 欧几里得空间.................................................................................................................................... 139 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 139 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 139 第 10 章 双线性函数与辛空间...................................................................................................................... 151 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 151 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 151 《高等代数》考研核心笔记.....................................................................................................................165 第 1 章 多项式................................................................................................................................................ 165 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 165 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 165 第 2 章 行列式................................................................................................................................................ 174 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 174 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 174 第 3 章 线性方程组........................................................................................................................................ 187 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 187 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 187 第 4 章 矩阵.................................................................................................................................................... 196 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 196 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 196 第 5 章 二次型................................................................................................................................................ 210 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 210 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 210 第 6 章 线性空间............................................................................................................................................ 222 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 222 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 222 第 7 章 线性变换............................................................................................................................................ 233 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 233 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 233 第 8 章 Λ-矩阵................................................................................................................................................. 249 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 249 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 249 第 9 章 欧几里得空间.................................................................................................................................... 264 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 264 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 264 第 10 章 双线性函数与辛空间...................................................................................................................... 276 第 5 页 共 602 页  考研精品资料 考研提纲及考试要求 ................................................................................................................................... 276 考研核心笔记 ............................................................................................................................................... 276 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研辅导课件 ..............................................290 《高等代数》考研辅导课件 ........................................................................................................................... 290 《高等代数》考研辅导课件 ........................................................................................................................... 385 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研复习提纲 ..............................................479 《高等代数》考研复习提纲 ........................................................................................................................... 479 《高等代数》考研复习提纲 ........................................................................................................................... 494 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心题库 ..............................................509 《高等代数》考研核心题库之计算题精编 ................................................................................................... 509 《高等代数》考研核心题库之证明题精编 ................................................................................................... 536 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研题库[仿真+强化+冲刺] ........................553 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研仿真五套模拟题................................................ 553 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（一）....................................................................... 553 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（二）....................................................................... 556 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（三）....................................................................... 559 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（四）....................................................................... 562 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（五）....................................................................... 565 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研强化五套模拟题................................................ 567 2024 年高等代数五套强化模拟题及详细答案解析（一）....................................................................... 567 2024 年高等代数五套强化模拟题及详细答案解析（二）....................................................................... 571 2024 年高等代数五套强化模拟题及详细答案解析（三）....................................................................... 574 2024 年高等代数五套强化模拟题及详细答案解析（四）....................................................................... 577 2024 年高等代数五套强化模拟题及详细答案解析（五）....................................................................... 582 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研冲刺五套模拟题................................................ 585 2024 年高等代数五套冲刺模拟题及详细答案解析（一）....................................................................... 585 2024 年高等代数五套冲刺模拟题及详细答案解析（二）....................................................................... 590 2024 年高等代数五套冲刺模拟题及详细答案解析（三）....................................................................... 593 2024 年高等代数五套冲刺模拟题及详细答案解析（四）....................................................................... 595 2024 年高等代数五套冲刺模拟题及详细答案解析（五）....................................................................... 599 第 6 页 共 602 页  考研精品资料 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数备考信息  北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研初试参考书目  “高等代数”（第二版），北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，1998。 “高等代数”（第三版），张禾瑞等编，1984。 “解析几何”（第二版），丘维声编，1996。 “空间解析几何学，”朱鼎勋、陈沼菱，1985。 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研招生适用院系  数理学院：数学 第 7 页 共 602 页  考研精品资料 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数历年真题汇编  北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2002 年考研真题（暂无答案） 青岛金㈁榜华研┈电子书 第 8 页 共 602 页  考研精品资料 第 9 页 共 602 页  考研精品资料 北京化工大学 861 高等代数与解析几何 2004 年考研真题（暂无答案） 第 10 页 共 602 页  考研精品资料 第 11 页 共 602 页  考研精品资料 北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲  第 33 页 共 602 页  考研精品资料 2022 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲  第 34 页 共 602 页  考研精品资料 第 35 页 共 602 页  考研精品资料 2023 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研大纲  第 36 页 共 602 页  考研精品资料 第 38 页 共 602 页 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心笔记  《高等代数》考研核心笔记 第 1 章 多项式 考研提纲及考试要求 考点：多项式的加、减、乘运算及运算律 考点：带余除法 考点：整除 考点：最大公因式 考点：互素 考点：最大公因式与互素概念的推广 考点：不可约多项式 考研核心笔记 【核心笔记】数域 代数性质：关于数的加减乘除等运算性质引入：关于数的范围的讨论 定义：设 P 是一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1，如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数 不为 0）仍是 P 中的数，那么称 P 为一个数域。 另一说法：如果包含 0 和 1 的一个数集 P，对于加减乘除（除数不为 0）运算都是封闭的，那么称 P 为一个数域。青岛掌л心博阅О电子书 重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域） 【核心笔记】一元多项式 1.一元多项式的概念 定义：设 n 是一非负整数， x 是一个符号（文字），形式表达式： 其中 。称为系数在数域 P 中的一元多项式。（数域 P 上 的一元多项式） （1）记 f (x) ＝ an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0＝ ＝ bm xm  bm1 xm1 ... b1 x1  b0 ＝ （2）其中 i n i ai x 0 称为 f (x) 的 i 次项 ai 为 i 次项系数。 （3） an  0 ，则 an x n 为 f (x) 的首项 an 为首项系数， n 为 f (x) 的次数。记 ( f (x))  n。 ai (i  0...n)P i n i ai x 0 g(x) j m j bj x 0 an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0  考研精品资料 第 39 页 共 602 页 （4）所有系数均为 0 的多项式称为零多项式，记 0（唯一不定次数） （5） ＝ 除去系数为 0 的项外，同次项系数均相等。（注意 0 多项式与 0 次多项式的区 别） 2.多项式的加、减、乘运算及运算律 设 ＝ ＝ ＝ bm xm  bm1 xm1 ... b1 x1  b0 ＝ j m j bj x 0 补充系数为 0 的项，使 与 具有相同多的项数后 ＝ ＝ ＋ ， 均不为 0 多项式 算律：青岛掌л心博阅О电子书 （1）加法交换律 （2）法结合律 （3）乘法交换律 （4）乘法结合律 （5）乘法对加法的分配率 ＝ （6）乘法消去律 fg  fh 且 f  0 ，则 （ fg  fh  0 f (g  h)  0 f  0 则 g  h  0 ） 3.一元多项式环的概念 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，记 P 为系数域 常用数学归纳法：关于自然数的命题青岛掌л心博阅О电子书 （1）当初始值时，命题成立 （2）假设小于或等于 n 1 时，命题成立，往证 n 时，命题成立 反证法： （1）假设结论成立 f (x) g(x)  f (x) an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0 i n i ai x 0 g(x) f (x) g(x) i n i ai bi x f x g x     0 ( ) ( ) ( ) ( f  g)  max(f ,g) f (x) g(x) s n m s i s j aibj x       0 ) ( ( fg) f g f g f  g  g  f f  g  g  f ( fg)h  f (gh) f (g  h) fg  fh g  h g  h P[x] ( f  g)  h  f (g  h)  考研精品资料 第 40 页 共 602 页 （2）按照正确分析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果 （3）结论成立 【核心笔记】整除的概念 1.带余除法 引例 于是 商式余式 带余除法定理： 对于 中任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有 中的 ， 存在，使 成立。 其中 或者 ＝0，并且 与 是唯一确定的。 证明：青岛掌л心博阅О电子书 中 是商式， 是余式。 2.整除 定义：如果存在 ，使 成立。那么称 整除 ，记做 。 † f (x) 表示 不能整除 f (x) （1） 整除 时 称为因式， 为倍式 （2） 时， 除 的余式 ＝0 （3） 有意义且 0 只能整除 0 多项式。零次多项式只能被零次多项式整除。 f (x)|f (x) f (x)|0 a | f (x) （ a  0 ） 性质： f (x)  x 3 3x 2  x 1 g(x)  3x 2  2x 1 g(x)  3x 2  2x 1 ) ) ( ) ( ( ) ( 9 9 2 9 26 1 3 7      x g x f x x P[x] f (x) g(x) g(x)  0 P[x] q(x) r(x) (r(x))  (g(x)) r(x) q(x) r(x) q(x) r(x) h(x) f (x)  g(x)h(x) g(x) f (x) g(x)| f (x) g(x) g(x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)  0 f (x) r(x) 0|0 9 9 2 2 6 9 9 7 3 2 1 4 7 3 3 2 4 7 3 2 1 3 3 2 9 2 3 2 1 3 7 1 3 2 1 3 1                 x x x x x x x x x x x x x x f (x)  q(x)g(x)  r(x) f (x)  q(x)g(x)  r(x) g(x) | f (x)  g(x)  考研精品资料 第 41 页 共 602 页 （1） ， 为非零常数 （2） ， （3） ，i 1,2, r  f |(u1g1 u2 g2 urgr ) ，其中 ui 是任意多项式。分别证明之。 结论： （1） f 与 cf 具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代。 （2）两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变。青岛掌л心博阅О电子书 【核心笔记】最大公因式 1.最大公因式 公因式： ， 则称 是 ， 的一个公因式 定义：对于 ， g(x) 若 d(x) 满足： （1） 是 ， 的公因式 （2） 是 ， 的公因式，有 ，则称 是 ， 的一个最大公因式。 引理： ，那么 ， 和 ， 有相同的公因式。 存在性： （1） （2） ， （3） ， 时定理：对于 ， ，一定存在 ，且 可表示成 ， 的一个组合，即 证： f  gq1  r1 ， 与 ， 有相同的公因式 g ， r1 与 r1 ， r2 有相同的公因式 ＝ ， 与 ， 有相同的公因式 rs2 ＝  rs1＝ rsqs1 又因 g  r1  r2  rs  ，故有限次必可整除，即 ，于是 rs 是 ， 的最大公因式。 又由 rs ＝ rs2 － rs1qs 回推至最后即得 d  uf  vg 得证。 唯一性： f | g g | f  f  c g c f | g g | h  f | h f | gi (x)| f (x) (x)| g(x) (x) f (x) g(x) f (x) d(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x)| d(x) d(x) f (x) g(x) f (x) g(x) g(x) r(x) f  g  0 d  0 f  0 g  0 d  g f  0 g  0 f g d f g d  uf  vg f g r1 g  r1q2  r2 r1 r2q3  r3 r1 r2 r2 r3  rs1qs  rs rs1  0 f g f (x)  q(x)g(x)  r(x)  考研精品资料 第 165 页 共 602 页 《高等代数》考研核心笔记 第 1 章 多项式 考研提纲及考试要求 考点：多项式的加、减、乘运算及运算律 考点：带余除法 考点：整除 考点：最大公因式 考点：互素 考点：最大公因式与互素概念的推广 考点：不可约多项式 考研核心笔记 【核心笔记】数域 代数性质：关于数的加减乘除等运算性质引入：关于数的范围的讨论 定义：设 P 是一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1，如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数 不为 0）仍是 P 中的数，那么称 P 为一个数域。 另一说法：如果包含 0 和 1 的一个数集 P，对于加减乘除（除数不为 0）运算都是封闭的，那么称 P 为一个数域。 重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域） 【核心笔记】一元多项式 1.一元多项式的概念 定义：设 是一非负整数， 是一个符号（文字），形式表达式： an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0 其中 。称为系数在数域 P 中的一元多项式。（数域 P 上 的一元多项式） （1）记 ＝ ＝ g(x) ＝ bm xm  bm1 xm1 ... b1 x1  b0 ＝ （2）其中 称为 f (x) 的 次项 ai 为 次项系数。 （3） an  0 ，则 an x n 为 f (x) 的首项 an 为首项系数， n 为 f (x) 的次数。记 ( f (x))  n。 （4）所有系数均为 0 的多项式称为零多项式，记 0（唯一不定次数） n x ai (i  0...n)P f (x) i n i ai x 0 j m j bj x 0 i n i ai x 0 i an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0  考研精品资料 第 166 页 共 602 页 （5） ＝ 除去系数为 0 的项外，同次项系数均相等。（注意 0 多项式与 0 次多项式的区 别） 2.多项式的加、减、乘运算及运算律 设 ＝ ＝ ＝ ＝ 补充系数为 0 的项，使 与 具有相同多的项数后 ＝ ＝f ＋ g ， 均不为 0 多项式 算律： （1）加法交换律 （2）法结合律 （3）乘法交换律 （4）乘法结合律 （5）乘法对加法的分配率 f (g  h) ＝ fg  fh （6）乘法消去律 且 ，则 g  h （ fg  fh  0 则 g  h ） 3.一元多项式环的概念 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，记 P 为系数域 常用数学归纳法：关于自然数的命题 （1）当初始值时，命题成立 （2）假设小于或等于 n 1 时，命题成立，往证 时，命题成立 反证法： （1）假设结论成立 （2）按照正确分析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果 f (x) g(x)  f (x) an xn  an1 xn1 ... a1 x1  a0 i n i ai x 0 g(x) bm xm  bm1 xm1 ... b1 x1  b0 j m j bj x 0 f (x) g(x) i n i ai bi x f x g x     0 ( ) ( ) ( ) ( f  g)  max(f ,g) f (x) g(x) s n m s i s j aibj x       0 ) ( ( fg) f g f  g  g  f f  g  g  f ( fg)h  f (gh) fg  fh f  0 f (g  h)  0 f  0 g  h  0 P[x] n ( f  g)  h  f (g  h)  考研精品资料 第 167 页 共 602 页 （3）结论成立 【核心笔记】整除的概念 1.带余除法 引例 于是 商式余式 带余除法定理： 对于 中任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有 中的 ， 存在，使 成立。 其中 或者 ＝0，并且 与 是唯一确定的。 证明： 中 是商式， 是余式。 2.整除 定义：如果存在 ，使 成立。那么称 整除 ，记做 。 † 表示 不能整除 （1） 整除 f (x) 时 称为因式， f (x) 为倍式 （2） 时， 除 的余式 r(x) ＝0 （3） 0|0 有意义且 0 只能整除 0 多项式。零次多项式只能被零次多项式整除。 f (x)|f (x) a | f (x) （ a  0 ） 性质： （1） f | g ， g | f  f  c g c 为非零常数 f (x)  x 3 3x 2  x 1 g(x)  3x 2  2x 1 g(x)  3x 2  2x 1 ) ) ( ) ( ( ) ( 9 9 2 9 26 1 3 7      x g x f x x P[x] f (x) g(x) g(x)  0 P[x] q(x) r(x) (r(x))  (g(x)) r(x) q(x) r(x) q(x) r(x) h(x) f (x)  g(x)h(x) g(x) f (x) g(x)| f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) g(x) g(x)  0 f (x) f (x)|0 9 9 2 2 6 9 9 7 3 2 1 4 7 3 3 2 4 7 3 2 1 3 3 2 9 2 3 2 1 3 7 1 3 2 1 3 1                 x x x x x x x x x x x x x x f (x)  q(x)g(x)  r(x) f (x)  q(x)g(x)  r(x) g(x) | f (x)  g(x)  考研精品资料 第 168 页 共 602 页 （2） ， （3） ， ，其中 是任意多项式。分别证明之。 结论： （1） 与 具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代。 （2）两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变。 【核心笔记】最大公因式 1.最大公因式 公因式： ， 则称 是 ， 的一个公因式 定义：对于 ， 若 满足： （1） 是 ， 的公因式 （2） 是 ， 的公因式，有 ，则称 是 ， 的一个最大公因式。 引理： ，那么 ， 和 ， 有相同的公因式。 存在性： （1） （2） ， d  g （3） f  0，g  0 时定理：对于 f ，g ，一定存在 ，且 可表示成 f ，g 的一个组合，即 d  uf  vg 证： f  gq1  r1 f ， 与 ， r1 有相同的公因式 g  r1q2  r2 g ， 与 ， 有相同的公因式 ＝ ， 与 ， 有相同的公因式  ＝ rs1＝ rsqs1 又因 g  r1  r2  rs  ，故有限次必可整除，即 rs1  0 ，于是 是 ， 的最大公因式。 又由 rs ＝ － rs1qs 回推至最后即得 得证。 唯一性： （1）若 d(x) 是 f (x) ， g(x) 的公因式，则 cd 也是。 c 为任意非零常数。 f | g g | h  f | h f | gi i 1,2, r  f |(u1g1 u2 g2 urgr ) ui f cf (x)| f (x) (x)| g(x) (x) f (x) g(x) f (x) g(x) d(x) d(x) f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x)| d(x) d(x) f (x) g(x) f (x)  q(x)g(x)  r(x) f (x) g(x) g(x) r(x) f  g  0 d  0 f  0 g  0 d g r1 r1 r2 r1 r2q3  r3 r1 r2 r2 r3 rs2 rs1qs  rs  rs f g rs2 d  uf  vg  考研精品资料 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研辅导课件  《高等代数》考研辅导课件  第 290 页 共 602 页  考研精品资料 第 291 页 共 602 页  考研精品资料 第 292 页 共 602 页  考研精品资料 第 293 页 共 602 页  考研精品资料 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研复习提纲  《高等代数》考研复习提纲  第 479 页 共 602 页  考研精品资料 第 480 页 共 602 页  考研精品资料 第 481 页 共 602 页  考研精品资料 第 482 页 共 602 页  考研精品资料 第 509 页 共 602 页 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研核心题库  《高等代数》考研核心题库之计算题精编  1． d= 【答案】按第一列（行）拆成两个行列式之和 d=x2 y 2 2． 求多项式 在复数范围内和在实数范围内的因式分解。 【答案】在复数范围内 ，其中 ， 在实数域内 ，所以，当 为奇数时，有 其中 2 1 2cos ( 1,2,..., ) j n j j j j n j n n             ，皆为实数。 当 是偶数时，有 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)( 1)[ ( ) 1][ ( ) 1]... [ ( ) 1] n n n n n x x x x x x x x x                         3． 解下列联立方程： （1） （2） 2 2 2 2 4 2 3 0 2) 4 10 9 0 x y x y x xy y y               （3） 2 2 3 2 3 2 ( 4) 2 3 0 3) 5 ( 7) 5 3 0 y x y x x y y x y x x x                   【答案】（1）由结式 2 2 2 2 5 6 5 16 0 ( , ) 0 5 6 5 16 1 1 2 4 0 0 1 1 2 4 y x x x R f g x x x x x x              4 3 2 32( 3 3 2) x x x x      2 32( 1) ( 1)( 2) 0 x x x      ， y y x x     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x n 1 2 1 1 ( 1)( )( )...( ) n n x x x x x           cos sin 2 2 3 3 i      (0 ) j n j j n       n 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)[ ( ) 1][ ( ) 1]... [ ( ) 1] n n n n n x x x x x x x x                        2 2 2 2 1) 5 6 5 16 0 2 4 0 y xy x y xy x y x                考研精品资料 第 510 页 共 602 页 可解得下 1，1，2，-1 四个根。 当 时，代入原方程组，可得 ， 解此方程组，可得 。 当 时，代入原方程组，得 ， 解之得 。 当 时，代入原方程组，可得 ， 解之得 。 故原方程组有四组公共解为 （2）同理可得 10 3 5 10 3 5 ( , ) 4( 1)( 3)( )( ) 0 5 5 y R f g x x x x         ， 所以解得 ， ， ， ， 代入原方程组，可得四组公共解为 1 1 1 2 x y       。 （3）由 2 2 2 y ( , ) 4 ( 1) ( 2) 0 f g x x x     R ， 可解得原方程组的组公共解为 1 1 0 1 x y      2 2 1 3 x y       x  x 1 2 2 5 6 11 0 2 3 0 y y y y           y 1 x 1 2 2 5 6 11 0 1 0 y y y          y 1 x  2 2 2 5 12 4 0 3 2 0 y y y y           y  2 1 1 1 1 x y       2 2 1 1 x y       3 3 1 1 x y       4 4 2 2 x y      x1 1 x2  3 3 1 (10 3 5) 5 x    4 1 (10 3 5) 5 x    2 2 3 0 x y       3 3 1 (10 3 5) 5 5 5 5 x y            4 4 1 (10 3 5) 5 5 5 5 x y             考研精品资料 第 511 页 共 602 页 4． Dn= 【答案】各行（列）减去第 3 行 Dn=6(n-3)! 5． 求 x 的值使 + =0 【答案】左式= 1 6 1 6 1 1 3 2 x x x =5x2 (x-1)故 x=0 或 x=1 6． 已知 i,z-i 是 f(x)=2x5 -7x4+8x3 -2x2+6x+5 的两个根，求 f(x)的全部根 【答案】全部根为 i,-i,2-i,2+i, 7． 求 f(x)=x5+x4 -6x3 -14x2 -11x-3 的有理根，并写出 f(x)在复数域上的标准分解 式 【答案】有理根为－1（四重）3，分解式 f(x)=(x+1)4 (x-3) 8． 求以 1 为二重根，1=I 为单根的次数最低近的实系数多项式 f(x). 【答案】f(x)=x4 -4x3 -x 2 -6x+2 3 3 1 2 x y       4 4 1 3 x y       5 5 2 1 2 x y i       6 6 2 1 2 x y i        n         3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 1 4 1 3 1 1 2 3 2 x x x 1 2 1 3 1 1 3 2 x x x  2  1  考研精品资料 第 512 页 共 602 页 9． Dn+1= 【答案】从第 2，3，n+1 列分别提出 a1,a2，…，an后，第一列减去各列 Dn+1=a1a2…an(a0- ) 10．求 值，使 3 2 f x x x tx ( ) 3 1     有重根。 【答案】易知 f x( ) 有三重根 时， 。若令 3 2 2 3 1 ( ) ( ) x x tx x a x b       ，比较两端系数，得 由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 1 2 3 1 1, 1, 2 a a a    ，将 的三个根分别代入 （1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。 当 时 有 3 重根 ；当 时， 有 2 重根 。 11．用克拉默法则解下列方程： （1）                        3 3 4 3 2 3 5 2 3 3 3 2 3 2 6 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x （2） （.）                                       2 3 3 4 3 4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 4 2 8 2 2 4 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x （4）                       5 1 5 6 0 0 6 5 0 6 5 5 6 1 4 5 3 4 5 4 3 2 3 2 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x 【答案】（1） d  70,d1  70,d2  70,d3  70,d4  70。 所以方程组有唯一答 1 1, 1, 1, 4 3 4 2 3 1 2 1         x d d x d d x d d x d d 。 （2） d  324,d1  324,d2  648,d3  324,d4  648。 an a a a     0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 0  n i i a1 1 t x 1 t  3 2 2 3 2 2 1 a b t a ab a b            3 2 2 3 1 0 a a    a 1 2 3 1, 1, 4 b b b    t 1 2 3 5 3, 3, 4 t t t    t 1,2  3 f x( ) x 1 3 5 t  4 f x( ) 1 2 x                          2 3 2 8 4 2 2 3 8 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x  考研精品资料 第 553 页 共 602 页 2024 年北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研题库[仿真+强化+冲刺]  北京化工大学 861 高等代数与解析几何之高等代数考研仿真五套模拟题  2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（一）  一、计算题  1． 设 ， 已知 存在，求 。 【答案】设 ，则 。 因此 ， 左乘 ，得 ， ， 又由于 ， ， 左乘 C 1 得 ， ， 故 。 2． 问向量组α1=(1,-2,1,0,0),α2=(0,0,-1,1,0),α3=(4,0,0,-6,2)是不是齐 次线性方程组                           5 4 3 3 0 0 6 2 2 0 2 3 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ①的一个基础解系？为什么？ 【答案】是基础解系。 ∵可验证①的系数矩阵的秩为 2，∴基础解系中含有 3 个解向量，又易知α1,α2,α3是①的 3 个线性无 关的解，故α1,α2,α3可作为①的基础解系。 0 0 A X C        1 1 , A C   X 1 11 12 1 21 22 B B X B B         21 AB E  AB22  0 A 1 21 1 B A   B22  0 CB11  0 12 CB E  B11  0 12 1 B C  1 1 1 0 0 C X A           11 12 21 22 21 22 11 12 0 0 0 0 B B AB AB A E B B CB CB C E                            考研精品资料 第 554 页 共 602 页 3． 设 与 的最大公因式是一个二次多项 式，求 ,tu 的值。 【答案】因为 ， ， 且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式 2 ( ) r x 为 0，即 ( 2 4) 0 (3 ) 0 u t u t         ， 从而可解得 1 1 0 2 u t      或 2 2 2 3 u t       。 4． 已知矩阵 A，B 满足关系式：AB=2A+B，其中 B= 。 【答案】由 AB-2A=B ∴A=B（B-2E）-1= = 二、证明题  5． 1 2 ( , , , )( 1,2, , ) i i i in i n       ，证明：如果 ij  0 ，那么 线性无关。  【答案】设有线性关系 1 1 2 2 0 n n k k k        ， 代入分量，可得方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n k k k k k k k k k                             ， 由于 ij  0 ，故齐次线性方程组只有零解，从而 1 2 , , , n    线性无关。 3 2 ( ) (1 ) 2 2 f x x t x x u      3 2 ( ) g x x tx u    ,求A 1 2 3 1 1 0 4 2 3             A(B  2E)  B                2 12 9 2 9 6 8 6 3 3 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x q x g x r x x tx u x x u g x q x r x r x           2 ( ( 2))( 2 ) ( 2 4) (3 ) x t x x u u t x u t                                    4 1 6 1 5 3 1 4 3 1 2 3 1 1 0 4 2 3 1 2 , , , n     考研精品资料 第 555 页 共 602 页 6． 证明：如果 与 互素，那么 ( ) m f x 与 ( ) m g x 也互素。  【答案】由假设，存在 u x( ) 和 v x( ) 使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1   , 于是 ，即证。 7． 设 1 2 3 2 1 3 r r , , ,                 ， 证明： 与 具有相同的秩。 【答案】只要证明两向量组等价即可.由题设，知 可由 线性表出。 现在把这些等式统统加起来，可得 ， 于是 1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 i i r r r r r                 ， 即证 也可由 线性表出，从而向量组 与 等价。 8． 设在向量组α1,α2,…,αm中α1≠0，且每一个αi（i=2,…,m）都不能由α1, α2,…,αi-1线性表出，证明：此向量组线性无关。 【答案】设有等式 k1α1+k2α2+…+kmαm=0，∵αm 不能由α1，…,αm-1 线性表出，∴km=0。上式为 k1 α1+…+km-1αm-1=0，同理，αm-1 不能由α1，…，αm-2 线性表出，故 km-1=0。依此类推最后得 k1α1=0,又α1 ≠0,k1=0，因此α1，α2，…,αm线性无关。 f x( ) g x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 m m m m u x f x v x g x   1 2 1 r r          1 2 , , , r    1 2 , , , r    1 2 , , , r    1 2 , , , r    1 2 1 2 1 ( ) r 1 r r               ( 1,2, , ) i r  1 2 , , , r    1 2 , , , r    1 2 , , , r    1 2 , , , r     考研精品资料 第 556 页 共 602 页 2024 年高等代数五套仿真模拟题及详细答案解析（二）  一、计算题  1． 求一个 次方程使 1 2 .. 0 n s s s     。 【答案】设此方程为 ， 由题设及牛顿公式可得 ， 即 ， 所以 ， ， ， ， 故所求方程为 。 2． λ为何值时，下列方程组有解？有解时，求出解。 【答案】 由 → → 可得λ=5 时有解，且它的一般解为          4 1 3 4 1 2 6 5 4 5 3 3 x x x x x x x1,x4为自由未知量。 3． 试判断向量组 α1=（4，3，-1，1，-1） α2=（2，1，-3，2，-5） α3=（1，-3，0，1，-2） α4=（1，5，2，-2，6） 的线性相关性。 【答案】设有 x1,x2,x3,x4,使得 x1α1+x2α2+x3+x4α4=0 n 1 1 ... ( 1) 0 n n n n x x         1 1 k k k     ( 2,3,..., ) k n  1 ! k  k   k ( 2,3,..., ) k n  2 2 1 1 2    3 3 1 1 3!    ... n n 1 ! 1 n    2 1 2 1 1 1 ... ( 1) 0 2! ! n n n n n x x x n                             1 2 3 4  1 2 3 4 1 2 3 4 7 4 11 2 4 2 2 1 x x x x x x x x x x x x              1 7 4 11  1 2 1 4 2 1 1 2 1 1             9 3 0 15 4 3 3 1 0 5 1 2 1 1 1            0 0 0 0  5 3 3 1 0 5 4 5 0 1 6 试读已结束 激活后可查看剩余未读页数！